内容分类
火狐体育
火狐体育最新app下载火狐体育官网

中考数学的重要补充——弦切角定理的证明作者:火狐体育最新app下载来源:火狐体育官网

  弦切角定理是以前初中九年级关于圆的定理之一,是一个非常重要的定理,但是现在在教材中已经被删除了,所以知道弦切角的定义,弦切角定理的内容的学生并不多。能够证明,运用的人就更少了。老黄在这里就给大家做一个全面的介绍。

  首先要知道什么是弦切角。弦切角就是切线和过切点的弦之间的夹角。如图1,PA切圆O于点P,弦PB与PA的夹角∠APB就是弦PB与切线PA之间的弦切角。

  注意:弦切角总是成对出现的,图中∠APB的邻补角也是一个弦切角。由一条切线可以做出无数个弦切角,只要将PQ绕P绕转,得到的弦与切线PA都能形成新的弦切角。而一条弦只能做出两组相等的弦切角,一共四个。就是过弦的两个端点可以作圆的两条切线。

  弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半,等于它所夹的弧所对的圆周角。如图2,弦切角∠APB等于弧PB所对的圆心角∠POB的一半,也等于弧PB所对的圆周角∠PCB。

  第一种方法可以通过证明“弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半”,再根据“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”的圆周角定理得到定理后面的部分。

  证明之前要先把文字性的命题用数学的方法表示出来,即写出条件,并作图。以图2为例,已知PA是圆O的切线,PB是圆O的弦,点C在圆O上,证明∠APB=∠POB/2=∠PCB.

  证法1:如图2,因为PA是圆的切线,所以∠OPA=∠APB+∠OPB=90度。【切线的性质:切线垂直过 切点的直径】

  第二种证明方法可以先证明“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”,再根据圆周角定理,得定理前面的部分。这时候为了证明的方便,我们可以根据“同弧对等角”,设弦BC过圆心O,如图3,增加BC是圆O的直径的条件。

  证法2:如图3,因为PA是圆的切线,所以∠OPA=∠APB+∠OPB=90度。

  又∠BPC=∠OPC+∠OPB=90度。【直径BC所对的圆周角∠BPC是直角】

  在中考数学中,有时候需要利用弦切角定理,如果要进行一次证明,就会很麻烦,因此老黄建议需要的时候可以直接运用,在结论的后面注明自己的依据是“弦切角定理”就可以了。另外,弦切角定理的逆定理也是成立的,可以用来快速判定切线,用起来非常方便。